MATEMATICI!!!

[Passingby]

Ještě můžeš zkusit zjistit, jak vypadá kružnice v manhattanské metrice

EDIT Trollící kružnice v manhattanské metrice:

ne1616_en.png

[Jezus]

Pokud je r1 poloměr tý menší kružnice a r2 poloměr tý větší, tak při straně čtverce rovný 1 by mělo platit, že r2 = r1 + 1. To jsou ale dvě nezmáný a jen jedna rovnice, takže ještě to chce najít aspoň jeden vztah.

Délka oblouku se stanoví jako délka kružnice s příslušným poloměrem děleno 360 ° (plná kružnice) krát příslušný úhel výřezu (třeba 90 °, pak je to vlastně krát 1/4).

Tedy 2pí*R/360*alfa. Já dám přednost radiánům, kdy se tvářím, že plný úhel "kolem dokola" je 2pí (místo 360).
Pak dostanu pro délku oblouku 2pí*R/2pí*alfa. Radiány používám, protože se pak "krátí píčka" tedy: délku oblouku vyjádřím jako R*alfa (jen alfa je v radiánech, ne ve stupních).

Mechť to výše byl ten větší oblouk.

Menší oblouk je pak r*beta (beta, protože "menší" .-) ). To už mám dvě rovnice celkem o čtyřech neznámých. Jenže Beta je vlastně 2pí-alfa ("360 ° - alfa") a taky platí, že ta úsečka, do doplňuje "čtverec" je stejně dlouhá jako ten oblouk. Vyjádřeno tím menším je to r*beta, nebo r*(2pí-alfa).

No a když znám délku úsečky a vím, že do velkého poloměru R jí chybí přesně poloměr menší kružnice (tedy r), vím, že R = r*(2pí-alfa)+r.

Zbývá dosaditi R do první rovnice a položit rovno r*(2pí-alfa) = tedy že oba oblouky jsou si rovny.

Výsledkem je kvadratická rovnice pro neznámou je alfa, jejíž kořeny jsou 1 nebo 2pí (v radiánech). 2pí radiánů je "plný kruh", což zjevně není naše řešení, takže zbývá 1 rad (což je 180/pí °).

Při dosazení do rovnice oblouku zjistíme, že dlouhý r*(2pí-1). Tedy poměr mezi délkou oblouku a jeho poloměrem musí být 2pí-1. Pak lze zkonstruovat podobný tvar a bude mít všechny "strany" stejně dlouhé.

Easy peasy (respektive maturitní matematika)
EDIT:Respektive maturant by to nepočítal v radiánech, protože je nejspíš skoro nezná, ale funguje to samozřejmě i pro úhel ve stupních - jen ti tam "otravují" ta pí a 360 a v jistou chvíli je lepší substituovat, že x = alfa/360 a najít nejdřív x a pak teprve alfa ve stupních).
Taky sem to psal rychle, takže se sice předvádím, ale zároveň negarantuju, že tam nebudou překlepy - tu základní úvahu byste ale měli být schopni replikovat (pokud to vůbec někoho zajímá ).

[Jerson]

Další čtverce

Nemůžeš je vložit jinak? Neukazují se mi, ani když si otevřu přímo ten odkaz.

[Jezus]

To, že je prostor neeuklidovský, neznamená, že nemůže mít ve skoro každém svém bodě infinitesimálně euklidovské vlastnosti. Jinak řečeno, i neeuklidovský prostor může v megazoomu vypadat jako euklidovský a ty neeuklidovské vlastnosti se projeví až ve velkém měřítku. A přesně tak funguje ta definice úhlu s křivkou v bodě.

Jo. Však jsem od začátku říkal, že pro c´thulhovskou geometrii je to v pořádku (a vysvětluje to, proč někdo, kdo takový prostor skutečně navštíví, často zešílí ).

Jen používat tenhle zoom, ale přitom se tvářit, že celý prostor je euklidovský, není správně.

Taky bych to viděl tak, že najít a sestrojit ten obrazec bude trochu jiná liga, než dokázat jeho existenci

Ve skutečnosti jeho existenci jsem dokázal výše (skutečně existuje takový úhel, aby byla splněna podmínka stejně dlouhých stran). Já jen tvrdím, že to, co definujete jako pravé úhly, v euklidovské geometrii neexistuje a nelze to takto chápat.

Pokud vzdáme podmínku euklidovského prostoru (který nastává jen při tom zoomu), pak s tímto čtvercem nemám v zásadě problém, i když bych teda nechtěl dokazovat topologii toho neeuklidovského prostoru (zejména proto, že nevím jak ani, jestli jsem použil správě výraz "topologii" ).

Nemůže to teoreticky být tím, že přímka a kružnice jsou objekty s úplně odlišnými vlastnostmi? Nevím, jek tak nahazuju, co mě napadlo.

Nebo jako nevím, z matfyzu už jsem pěkných pár let venku, možná se věda posunula, ale pokud existuje nějaká věta na "pokud něco dává smysl pro přímku, musí to dávat smysl i pro kružnici", celkem rád bych viděl ten důkaz.

Ta věta existuje pro ten úhel. Říká se jí axiom a můžu tě na něj odkázat. Stačí ti takový důkaz?

Jinak chápu, kam tím míříš, nicméně definovat úhel jen v bodě dotyku je úplně jiná definice, když standardně se definuje jako část roviny. Ono to má pak i nějaké praktičtější dopady. Ty vlastně říkáš "pokud to platí pro přímku (úhel se definuje skrze dvě takové), musí to platit pro křivky obecně", aniž bys proto sám předložil důkaz jiný než "úhel na křivce se úhel její tečny, což je přímka..." Myslím, že důkazní břemeno je u tebe. (Jak jsem řekl, naběhl jsem si pokusem vysvětlit axiom. Couvám, beru ho jako axiom a teď dokazujete vy - hodně štěstí, když buď musíte použít ten řečený axiom nebo jít do neeuklidovského prostoru - což je to, co tvrdím od začátku).

Samozřejmě si můžeš definici upravit, ale pak zase nebude nic divného na tom, že ti to vlastně pozmění i věci, co jsi na ní stavěl - v tomto případě čtverce.

[York]

Nemůžeš je vložit jinak? Neukazují se mi, ani když si otevřu přímo ten odkaz.

Že by z redditu nešlo linkovat? Jsou odtud.

[Lorwyn]

Nemůžeš je vložit jinak? Neukazují se mi, ani když si otevřu přímo ten odkaz.

Že by z redditu nešlo linkovat? Jsou odtud.

Já je vidim normálně, možná je to prohlížečem? Nebo tak něco?

[Passingby]

Jezus: Bacha, věta není axiom. Věty se dokazují z axiomů, které prostě jsou a nedokazují se. (EDIT Pardon, četl jsem to jenom zhruba, v tom dalším odstavci jsi to měl )

S tímhle se dá hrát v Geogebře (odkaz Calculators), jestli to neznáš (je i jako appky do mobilu). Ale ke sdílení tam musíš mít účet.

Do toho, co a jak je v matematice nadefinované, bych se moc nepletl, protože "úhel" tam mají mezi kdečím, třeba i mezi funkcema (a podle té definice jsou na sebe sinus a cosinus "kolmé"):

sin-cos-ortho.png

EDIT Jersonovi to můžou v práci filtrovat, museli byste ten obrázek nahrát přímo do příspěvku.

[MarkyParky]

Jezus: Hledáš chybu na špatném místě.

Všichni tak nějak intuitivně předpokládám víme, jak vypadá pojem čtverec.

Pojem pak je možné mnoha způsoby matematicky popsat/vymodelovat.

Ten postovaný obrázek si dělá legraci z nedokonalosti jednoho takového modelu právě tím, že na jejím základě nakreslí objekt, který naší společné představě pojmů čtverec neodpovídá.

Chyba ale není v aplikovaném postupu. Chyba je v tom modelu, případně v (absenci) kontextu, ve kterém byl tenhle model použít jako definice, i když tady mám pocit, že je to spíš záměr autora vtipu, který fikaně v definici čtverce vyměnil "úsečku" za "stranu", čímž značně rozšířil množství objektů, které se do takové definice vejdou a přitom naruší naší společnou představu o podobě čtverce.

Problematika měření úhlů mezi křivkami, jakkoliv je zajímavá (a mají v ní pravdu ti, co říkají, že to jde a dělá se to například zmíněnými tečnami v bodě dotyku), je s principem vtipu zcela mimoběžná.

[Eleshar_Vermillion]

Přesně takhle jsme se to učili na gymplu - úhel sečny vůči kružnici odpovídá úhlu mezi sečnou a tečnami procházejícími průsečíky. Pokud jde o diametrálu, úhly jsou pravé.

Můžeš mi poslat odkaz na definici?

Ne, moje sešity z matyky nejsou online a už jsem je dávno vyhodil.
Každopádně pokud do toho chceš tahat striktně matematické definice, tak se poněkud vytrácí onen vtip, který se, jestli to nebylo úplně jednoznačné, opírá právě o koncepty spíše základoškolské, max. středoškolské. Jak známo, čtverec je především rovnoběžník, což se do definic vyšších vzdělávacích stupňů přidává zjevně z důvodu, aby to vyloučilo takovéhle zhůvěřilé tvary.

To už je zajímavější ten Marky se svým zoomem - mimochodem délka těch úseček musí být "přesně" dvě pí mínus jedna poloměrů té kružnice (jinak nebudou strany "čtverce" stejně velké). Prakticky to "zhruba" uděláš, nicméně úsečka o délce pí (nebo jejím násobku) existuje jen v teoretickém prostoru.

Jo, to jsem už psal Vallunovi, že bych spíš cítil pochybnosti v téhle oblasti

Legrace je, že pro ty, co vědí, co se děje (změnil jsi definici) to žádné hroucení není

No ty mezi ně rozhodně nepatříš, protože se tu bavíme o vtipu založeném na základo- a středoškolském uvažování. V matematice a geometrii, pokud mi jest známo, se nehovoří vůbec o žádný "čarách" a podobných stupidních plebejských konceptech, nýbrž o "množinách bodů" o daných vlastnostech.

Kde? Chci odkaz. (EDIT: Respektive jak? Těmi tečnami. Je to úhel mezi přímkami v bodě dotyku, z nichž jedna je tečná na křivku. Není to úhel, který svírá křivka - to nejde. Je to úhel mezi její tečnou a přímkou, co ji protíná. Jen se tomu tak říká. Schválně koukni na tu definici).

Zase: odkaz ti nedám, ale mám pocit, že tohle jsoui přesně všechny ty divné integrály a derivace apod., a přesně přes úhel tečny se počítá sklon křivky v daném bodě, ne? Čili i ten jeden bod má jakoby směr a ten směr už je pochopitelně jednorozměrný a mít s něčím úhel.

Jako je možné, že se pletu, ale myslím, že spíš driftujete od klasické (euklidovské) geometrie do nějaké matematické analýzy, co si zavádí vlastní nástroje (viz výše),

Ale ty se od sebe nelíší, ne? jedna je jen nástavba nad druhou. Eukleidés si maloval čáry do písku, matematická analýza ví, že jsou to množiny bodů.

[Eleshar_Vermillion]

Chyba ale není v aplikovaném postupu. Chyba je v tom modelu, případně v (absenci) kontextu, ve kterém byl tenhle model použít jako definice, i když tady mám pocit, že je to spíš záměr autora vtipu, který fikaně v definici čtverce vyměnil "úsečku" za "stranu", čímž značně rozšířil množství objektů, které se do takové definice vejdou a přitom naruší naší společnou představu o podobě čtverce.

Děkuji tobě i všem ostatním za pomoc při vysvětlení té instance humoru mimozemšťanům. Jsem si jist, že důkladné vysvětlení a terminologická analýza umožní ocenit humornost věci mnohem většímu publiku.

[Herald pravdy]

[Antharon]

In Euclidean geometry, a square is a regular quadrilateral, which means that it has four sides of equal length and four equal angles (90-degree angles, π/2 radian angles, or right angles).

Ta definicia je este hlupejsia. On ten stvorec moze byt aj kruh (styri strany zvierajuce rovnaky (180° uhol)

[Eleshar_Vermillion]

No to je ta původní definice - čtyři strany stejné délky a čtyři pravé úhly. Heuréka

[Jezus]

Passingby: Hele dobrý - ten odkaz vypadá zajímavě. Akorát jsme opět jinde než v euklidovské geometrii (ne v matematice obecně, to jsem netvrdil, trvám na té konkrétní geometrii o níž od počátku mluvím a vy neustále omíláte nesouvisející věci ve snaze mi dokázat, že se mýlím. Bylo by fér mluvit k věci). Že si obory definují pojmy pro své potřeby (většinou proto, že prakticky dělají, co co "laicky" čekáš, že ty pojmy budou dělat), je normální. Akorát mi připadá, že je to jako tahat biologickou definici do společenských věd, jen to teda dělá menší škodu (nebo psychologické definice do rpg ).

Druhá věc je - a děkuju za opravu - že mi tu nikdo neodkázal "věty" na kterých dokazuje, že mezi křivkou a přímkou (nebo dvěma křivkami obecně) může existovat úhel a že je definován jinak než specifickými přímkami, nějak ve vztahu k těmto křivkám.

Skoro mi připadá, že větu "ne v euklidovské geometrii" (hele tady je definice) vyvracíte stylem "ale v různých oborech a různých věcech se to chová různě, podívej se na tyhle úplně jiné definice". Jako ok, jste chytří, ale to nebylo jádro diskuse.

Přijde mi, že člověk, co chce něco dokázat, pošle odkaz na definici, ne dvě "kolmé funkce".

MarkyParky, Eleshar_Vermillion: Myslím, že jste nepochopili, k čemu došlo. Já pointu obrázku poznal - řekl jsem ,že neplatí v euklidovské geometrii (byť středoškolákům se tak může jevit). Problém je, že mi tu většina dokazuje, že v ní platí. Já pořád opakuju, že ne, a oni (někdy i vy) mi pořád vyvracíte, co píšu.

Pokud mluvíte o něčem jiném, proč pořád citujete moje výroky o euklidovské geometrii? Připadá mi, že se mě snažíte trollit, nicméně děláte to odkazy na věci, které jsem vyloučil, či vyřešil už od začátku (tím, že v neeuklidovském prostoru to samozřejmě platit může).

Je úplně jedno, co je nadstavba čeho. Pokud nedokážete uznat moje prvotní výroky (nebo je vyvrátit), nemá cenu přesouvat se do jiných prostorů. Já od začátku tvrdím, že s nimi problém nemá. Čím si tedy pomůžeme, že se do nich přesuneme?

Nicméně pokud je pointou obrázku ukázat něco jako "svět je pestré místo, nepřemýšlejte jen v euklidovské geometrii, dívejte, čtverec!" pak to funguje. A já s tím od začátku souhlasil, to Corny a jiní tvrdili, jak tečna a křivka jsou vlastně to samé, takže v místě dotyku je křivka kolmá...

Prostě přestaňte tvrdit, že to platí i v euklidovské geometrii (nebo to dokažte) a klidně se přesuneme dál (otázka je kam, když "jinde" to není nutně "problém" - maximálně si pak můžeme ukazovat hezké obrazce a vlastnosti různě zakřivených prostorů...)

TLDR: Snažíte se tvrdit (trollit), že od začátku míjím pointu. Já naopak na začátku řekl, že to čtverec může být, ale ne v kontextu euklidovské geometrie (dodal jsem tedy kontext, který autor schválně nedal, případně schválně pracoval s "definicí úhlu na křivce", který se sice užívá, ale neznamená to, co si mnozí myslí).

Corny a spol. mě začali školit, že se pletu. (Samozřejmě se neobtěžovali něco dokazovat, jen mlžili kolem, nejlépe v jiných oborech nebo souřadnicových systémech, než o kterých jsem mluvil). Pokud na to někdo skočil, tak oni. Já se jako matematik nemám nad čím bouřit. Od začátku je mi jasné, v čem spočívá trik (to jen někteří se mi neustále snaží dokazovat, že nemám pravdu). Otázka je, proč to dokazují tak neefektivně.

[Jezus]

Vzít v úvahu absenci rovnoběžných stran vám pomůže jen zdánlivě. Pokud můžou být ty vnitřní úhly všechny kolmé, pak lze najít prostor, v němž budou protější strany rovnoběžné.

EDIT: Chápete, ne? Pokud může na křivku vést kolmici, pak můžu ty křivku prohlásit za úsečku (při nekonečném Markyho zoomu), podle naprosto stejné logiky (proč by totéž, co platí pro přímku, neplatilo pro křivku, když křivky jsou přímky s jiným poloměrem - Pieta). Samozřejmě používám Corny "rozšíření pojmů" dle právnicko-matematické logiky.
Prostě argumentovali jste mi to dost dlouho, proč může mít křivka úhel (včetně těch, co se teď tváří, že šlo o vtip se středoškolskou matematikou - zajímavé, jak argumentovali nekonečnem a jinými souřadnicovými systémy), že pokud ty argumenty použiju k obhájení úsečky jako oblouku, dostaneme se zpět tam, kde jsme byli - v neeuklidovském prostoru to čtverec být může.

A pojmy jako čáry používám proto, že mi tu někteří chtěli geometrii dokazovat tím, že vezmou pravítko