MATEMATICI!!!

[Corny]

Na tom právě ani nic tak nekonečného a filozofického není, jak ukázal York, je to úplně basic úkon který by i strojař měl zvládnout docela v pohodě A k tečně se dostaneš extrémně snadno. Navíc ani nic nepotřebuj změřit, pokud ta "strana" od které to počítá, by při protažení prošla středem toho kruhu, tak je to prostě 90° "z definice" (nebo pokud to tak někomu z vás nesedí, tak za "z definice" dosaďte "protože vesmír si to tak žádá ze samé podstaty svého temného fungování" ) a víc jak pravítko nebo dostatečně rovnou tužku na to nepotřeboval

Ano, pokud to chceš dělat na stole pomocí úhloměru mezi tou stranou a tou částí kružnice, aniž bys provedl nějakou další rozvahu, tak to samozřejmě "nejde" prakticky provést, ale to neznamená, že to tak není, i obvody kružnice zkrátka svírají úhly. Don't kink shame them.

(taky nezapomínejme na to, že to, jak je úhel čistě matematicky či geometicky v základu nadefinován je jedna věc a praktické rozvedení či realita jsou věc druhá. Ostatně jak naznačil Marky, nejde se koukat jen čistě na definici, protože k té se můžeme i z objektů, které ji zdánlivě nesplňují, dostat poměrně jednoduše. Že je úhel definován pomocí přímek či polopřímek má svůj jasný důvod, což ale neznamená, že úhel nemůže svírat třeba dvojice nerovných funkcí nebo třeba kruh s obloukem, když tyhle komplikovanější útvary přetvoříme, rozvedeme, rozkouskujeme atd.)

[Eleshar_Vermillion]

Přesně takhle jsme se to učili na gymplu - úhel sečny vůči kružnici odpovídá úhlu mezi sečnou a tečnami procházejícími průsečíky. Pokud jde o diametrálu, úhly jsou pravé.

[Jezus]

Jasně, že máš, změříš ho oproti tečně. Nic neeuklidovskýho na tom není.

Ale které tečně? Proč zrovna v místě dotyku, proč ne "dále na kružnici"? Úhel dvou přímek je totiž vždy stejný, nezávisle na tom, kde ho měříš - není omezen na místo dotyku. Pokud použiješ tečnu, máš úhel k této tečně (což je velmi užitečné i při zacházení s kružnicí - nebo jinou křivkou), ale je to úhel k této tečně, nikoli křivce samotné.

Pro praktickou konstrukci ti to stačí, zrovna tohle nechat vyrobit není problém. Ale není to geometricky správně. Z definice úhlu.

Přesně takhle jsme se to učili na gymplu - úhel sečny vůči kružnici odpovídá úhlu mezi sečnou a tečnami procházejícími průsečíky. Pokud jde o diametrálu, úhly jsou pravé.

Můžeš mi poslat odkaz na definici?

Na tom právě ani nic tak nekonečného a filozofického není, jak ukázal York, je to úplně basic úkon který by i strojař měl zvládnout docela v pohodě A k tečně se dostaneš extrémně snadno.

taky nezapomínejme na to, že to, jak je úhel čistě matematicky či geometicky v základu nadefinován je jedna věc a praktické rozvedení či realita jsou věc druhá.

Ano, strojař ano. Já nemám problém to vyrobit. Nicméně matematik je ten, co protestuje Geometrie není o tom, že si přiložím pravítko k válci a prohlásím místo dotyku za pravý úhel. To je praktické, když třeba stavím dům, ale ne když definuji pojmy (úhel, čtverec...).

Pro praktické rozvedení používáme právě ty tečny, abychom ke křivkám uměli přistupovat (i "matematicky" tedy pomocí analytické geometrie). Ale geometrie je víc, než jen praktické použití. Pokud o tom hodláte uvažovat jako o čárách pomocí pravítek na papíře, pak pardon, ale odmítám se účastnit.

To už je zajímavější ten Marky se svým zoomem - mimochodem délka těch úseček musí být "přesně" dvě pí mínus jedna poloměrů té kružnice (jinak nebudou strany "čtverce" stejně velké). Prakticky to "zhruba" uděláš, nicméně úsečka o délce pí (nebo jejím násobku) existuje jen v teoretickém prostoru.

Že je úhel definován pomocí přímek či polopřímek má svůj jasný důvod, což ale neznamená, že úhel nemůže svírat třeba dvojice nerovných funkcí nebo třeba kruh s obloukem, když tyhle komplikovanější útvary přetvoříme, rozvedeme, rozkouskujeme atd.

Ne. To přesně tohle znamená. Definičně.

Tím, že to přetváříš do jiných útvarů si pomáháš, abys s tím mohl prakticky pracovat. Neznamená to ale, že tyhle pomocné operace ti nahradí fakt, že kružnice nesvírá s přímkou žádný úhel, ale svírá ho právě její tečna.

Nicméně chyba je na mé straně, snažil jsem se vám vysvětlit axiom. To je stejně "dobrý" nápad, jako ho dokazovat.

Jasně, pokud si definici upravíte, třeba tak že vzájemný úhel dvou křivek se rovná úhlu jejich tečen v místě průniku při nekonečném přiblížení.... pak můžete úhly definovat i na tomto útvaru. A ano, pak vám budou vycházet jako útvary podle dřívějších definic i jiné věci. To ale není nic světoborného, čtverec je definován podle nějakých axiomů. Když jeden z nich změníte, vyleze vám i "jiný čtverec" - akorát to nebude v euklidovské geometrii (Q.E.D.)

Vlastně je to filozofické až na půdu. Nahraď nějakou definici v lidské interakci (například co je to "žena", abych byl současný), zbytek nechej (jako třeba že ve vrcholovém sportu máme ženské a mužské kategorie) a pozoruj, jak se ti začne svět měnit do "kulatých čtverců".

Legrace je, že pro ty, co vědí, co se děje (změnil jsi definici) to žádné hroucení není - jen pro ně pak platí trochu jiná pravidla, respektive při použití ostatních stávajících definic začneš dostávat jiné výsledky. Buď je přijmeš (a zanalyzuješ), nebo musíš domyslet, jaký vliv to bude mít i na ostatní definice a posunout i tyto. Já nemám problém s trojúhelníky, jejichž součet úhlů je větší než 180 ° (nebo kulatými čtverci), jen mi zároveň netvrďte, že jsou euklidovské. Protože pak se (doslova) každý pohybujeme v jiném prostoru úvah a velmi brzy si přestaneme rozumět.

[Antharon]

Dotycnica ku kruznici sa skonstruuje tak, ze spustis priamku od stredu do bodu kde ju chces nakreslit, prilozis pravouhle pravitko a urobis na tuto priamku kolmicu.

Ak sa teda pozries na obrazok, obe priamku, ktore maju byt kolme na kruznicu (ak ich predlzis) sa pretinaju v strede tejto kruznice.

Oh, kruznica je zahnuta priamka.

[Sarsaparillos]

Vlastně je to filozofické až na půdu. Nahraď nějakou definici v lidské interakci (například co je to "žena", abych byl současný), zbytek nechej (jako třeba že ve vrcholovém sportu máme ženské a mužské kategorie) a pozoruj, jak se ti začne svět měnit do "kulatých čtverců".

Kulatý obdelníky? (Hudba Youtube) Nobody?

[Pieta]

Ale které tečně? Proč zrovna v místě dotyku, proč ne "dále na kružnici"?

Proč bys to řešil někde jinde? Vždyť místo dotyku je jediné, kde to dává smysl...

[Passingby]

To takhle do baru přijdou matematik, strojař a právník a za barmanem uvidí na stěně viset obrázek...
(Matematik, programátor, strojař, právník a lingvista by už dneska bylo na vtip moc dlouhý.)

Jezus: Bohužel, borci mají pravdu, přesně takhle přes tečny je ten úhel mezi přímkou a křivkou v bodě jejich průsečíku běžné definovaný. Důležitý je to "v bodě jejich průsečíku", protože zatímco dvě (rovné) přímky ten svůj úhel svírají "tak nějak všude po celé své délce" (globálně), u přímky a křivky ten úhel má smysl jenom v tom průsečíku (lokálně a navíc infinitesimálně, tzn. jenom a jenom v tom jednom bodě) a u složitějších křivek se navíc můžou protínat víckrát a v každém z průsečíků ten úhel mít jiný. Navíc ta křivka v tom bodě musí být derivovatelná, tzn. při zazoomování musí být aproximovatelná přímkou/úsečkou. (Což třeba funkce nad komplexníma číslama často nejsou, protože při zazoomování z nich lezou další a další detaily.)

[Corny]

Nicméně matematik je ten, co protestuje

Tak pak má ten "matematik" v té matematice docela zásadní mezery.
On je mimo jiné docela dramatický rozdíl mezi změnou definice a uvědoměním si, co všechno ta definice v užším, ale i širším smyslu zahrnuje a nekoukat na ni jen polopatě a formalisticky.

To takhle do baru přijdou matematik, strojař a právník a za barmanem uvidí na stěně viset obrázek...
(Matematik, programátor, strojař, právník a lingvista by už dneska bylo na vtip moc dlouhý.)

A co teprve právník, co má vystudovanou i matematiku

[York]

Ale které tečně? Proč zrovna v místě dotyku, proč ne "dále na kružnici"?

Mluvím samozřejmě o tečně v bodě, kde kružnici protíná přilehlá strana čtverce.

délka těch úseček musí být "přesně" dvě pí mínus jedna poloměrů té kružnice (jinak nebudou strany "čtverce" stejně velké). Prakticky to "zhruba" uděláš, nicméně úsečka o délce pí (nebo jejím násobku) existuje jen v teoretickém prostoru.

Skoro jsi mě dostal, ale s hodnotou pí to nijak nesouvisí. Délka strany čtverce (tedy těch oblouků i úseček) může bejt úplně libovolná, třeba 1 metr

[Jezus]

Proč bys to řešil někde jinde? Vždyť místo dotyku je jediné, kde to dává smysl...

Mě třeba dává smysl hledat úhel dvou přímek kdekoli, dokonce pro to nemusím jejich bod dotyku ani "vidět".

Bohužel, borci mají pravdu, přesně takhle přes tečny je ten úhel mezi přímkou a křivkou v bodě jejich průsečíku běžné definovaný.

Kde? Chci odkaz. (EDIT: Respektive jak? Těmi tečnami. Je to úhel mezi přímkami v bodě dotyku, z nichž jedna je tečná na křivku. Není to úhel, který svírá křivka - to nejde. Je to úhel mezi její tečnou a přímkou, co ji protíná. Jen se tomu tak říká. Schválně koukni na tu definici).

Osobně mám pocit, že si trochu pletete pojmy a to sice, co znamená úhel jako takový, a to, jak ho definuji v bodě křivky (pro různé analytické fíčury, jako je třeba trajektorie apod.). A v bodě křivky ho definuji pomocí přímek (tečny) v tom bodě. Ale ten úhel není mezi křivkou a přímkou, to je jen slovní zkratka, je mezi těmi přímkami Proto je zavádím (nebo dokonce i počítám, když to potřebuji).

Jako je možné, že se pletu, ale myslím, že spíš driftujete od klasické (euklidovské) geometrie do nějaké matematické analýzy, co si zavádí vlastní nástroje (viz výše), ale IMHO pořád pomocí toho, že ten úhel konstruuje pomocí přímek.

Jako právníkovi by asi rozšíření definice pomocí toho, že se tak běžně chápe pro analytiku, i když definičně to neznamená, prošla.

Já dávám přednost definicím. Vy se klidně bavte kulatými čtverci. Nicméně zatím mi nikdo nedokázal, že jsou euklidovské

Skoro jsi mě dostal, ale není to tak. Délka těch oblouků i úseček může bejt úplně libovolná, třeba 1 metr

Pak je ale poloměr té kružnice 1/(2pí -1). Jen jsi problém převedl na jinou úsečku, tentokrát poloměr.

Nicméně uznávám, že faktická nemožnost to zkonstruovat "reálně", moc nedává smysl jako argument. Protože stejně tak bych po tobě mohl chtít zkonstruovat přesný kruh (válec). Protože válec jsi technicky schopen rozbalit a pak dostaneš rovinu o délce dvou pí poloměrů

[York]

Pak je ale poloměr té kružnice 1/(2pí -1). Jen jsi problém převedl na jinou úsečku, tentokrát poloměr.

Aha, ty mluvíš o tom, že poloměr bude iracionální číslo. Zní to pravděpodobně, ale přijde mi, že spočítat poloměr těch kružnic bude dost netriviální úloha.

[Passingby]

Já dávám přednost definicím. Vy se klidně bavte kulatými čtverci. Nicméně zatím mi nikdo nedokázal, že jsou euklidovské

To, že je prostor neeuklidovský, neznamená, že nemůže mít ve skoro každém svém bodě infinitesimálně euklidovské vlastnosti. Jinak řečeno, i neeuklidovský prostor může v megazoomu vypadat jako euklidovský a ty neeuklidovské vlastnosti se projeví až ve velkém měřítku. A přesně tak funguje ta definice úhlu s křivkou v bodě.

Definition: The angle between two curves is the angle between their tangent lines.

(Přímku v tomto kontextu považujme za triviální křivku, která v každém bodě splývá se svojí tečnou v tomto bodě.)

(jakože matematici si to prostě nadefinujou tak, aby jim to vycházelo – viz třeba čemu říkají "graf")

Aha, ty mluvíš o tom, že poloměr bude iracionální číslo. Zní to pravděpodobně, ale přijde mi, že spočítat poloměr těch kružnic bude dost netriviální úloha.

Taky bych to viděl tak, že najít a sestrojit ten obrazec bude trochu jiná liga, než dokázat jeho existenci

[York]

Pokud je r1 poloměr tý menší kružnice a r2 poloměr tý větší, tak při straně čtverce rovný 1 by mělo platit, že r2 = r1 + 1. To jsou ale dvě nezmáný a jen jedna rovnice, takže ještě to chce najít aspoň jeden vztah.

[Pieta]

Mě třeba dává smysl hledat úhel dvou přímek kdekoli, dokonce pro to nemusím jejich bod dotyku ani "vidět".

Nemůže to teoreticky být tím, že přímka a kružnice jsou objekty s úplně odlišnými vlastnostmi? Nevím, jek tak nahazuju, co mě napadlo.

Nebo jako nevím, z matfyzu už jsem pěkných pár let venku, možná se věda posunula, ale pokud existuje nějaká věta na "pokud něco dává smysl pro přímku, musí to dávat smysl i pro kružnici", celkem rád bych viděl ten důkaz.

[York]

Další čtverce